Exercice 7, § 2

Soient E un ensemble ordonné, F l’ensemble des fermetures (III, p. 71, exerc. 13) dans E. On ordonne F en posant $u \leq v$ lorsque $u(x) \leq v(x)$ pour tout $x \in E$; F admet un plus petit élément e, l’application identique de E sur lui-même. Pour tout $u \in F$, on note $I(u)$ l’ensemble des éléments de E invariants par u. a) Montrer que pour que l’on ait $u \leq v$ dans F, il faut et il suffit que $I(v) \subset I(u)$. b) Montrer que si deux éléments quelconques de E admettent une borne inférieure dans E, deux éléments quelconques de F admettent une borne inférieure dans F. Si E est un ensemble réticulé achevé (III, p. 71, exerc. 11) il en est de même de F. c) Montrer que si E est inductif (pour la relation $\leq$), deux éléments quelconques $u, v$ de F admettent une borne supérieure dans F (montrer que si on pose $f(x) = v(u(x))$, et si on désigne par $w(x)$ le plus grand élément de la chaîne de x, relative à f (exerc. 6), $w$ est une fermeture dans E, borne supérieure de $u$ et de $v$).