Bài tập 7, § 2

Cho E là một tập hợp có thứ tự và F là tập hợp tất cả các phép đóng (§ 1, Bài tập 13) trong E. Trang bị cho F thứ tự bằng cách đặt $u \leqslant v$ khi và chỉ khi $u(x) \leqslant v(x)$ với mọi $x \in E$. Khi đó F có phần tử nhỏ nhất $e$, là ánh xạ đồng nhất của E lên chính nó. Với mỗi $u \in F$, ký hiệu $I(u)$ là tập hợp các phần tử của E bất biến đối với $u$.

(a) Chứng minh rằng $u \leqslant v$ trong F khi và chỉ khi $I(v) \subset I(u)$.

(b) Chứng minh rằng nếu mọi cặp phần tử của E đều có một cận dưới lớn nhất trong E, thì mọi cặp phần tử của F đều có một cận dưới lớn nhất trong F. Nếu E là một dàn đầy đủ, thì F cũng vậy (§ 1, Bài tập 11).

(c) Chứng minh rằng nếu E là quy nạp (đối với quan hệ $\leqslant$), thì mọi cặp $u$, $v$ các phần tử của F đều có một cận trên nhỏ nhất trong F. (Chứng minh rằng nếu $f(x) = v(u(x))$ và nếu $w(x)$ ký hiệu phần tử lớn nhất của dây chuyền của $x$, đối với $f$ (Bài tập 6), thì $w$ là một phép đóng trong E và là cận trên nhỏ nhất của $u$ và $v$.)