Exercice 4, § 3

Soient E un ensemble, f une application de $\mathfrak{P}(E) - \{ \varnothing \}$ dans E telle que, pour toute partie X ≠ $\varnothing$ de E, on ait f(X) ∈ X (« fonction de choix »). a) Soit b un cardinal, et soit A l'ensemble des x ∈ E tels que Card(f(x)) ≤ b. Montrer que si a = Card(A), on a 2^a ≤ 1 + ab (remarquer que si Y ⊂ A et Y ≠ $\varnothing$, on a f(Y) ∈ A). b) Soit B l'ensemble des x ∈ E tels que pour toute partie X ≠ $\varnothing$ de E appartenant à $f^{-1}(x)$, on ait Card(X) ≤ b. Montrer que Card(B) ≤ b.