Bài tập 4, § 3

Cho E là một tập hợp và cho $f$ là một ánh xạ từ $\mathfrak{P}(\mathrm{E}) - \{\emptyset\}$ vào E sao cho với mỗi tập con khác rỗng X của E ta có $f(\mathrm{X}) \in \mathrm{X}$ ("hàm lựa chọn").

(a) Cho $\mathfrak{b}$ là một lực lượng và cho A là tập hợp tất cả các $x \in \mathrm{E}$ sao cho $\mathrm{Card}\,(\overset{-1}{f}(x)) \leqslant \mathfrak{b}$. Chứng minh rằng, nếu $\mathfrak{a} = \mathrm{Card}\,(\mathrm{A})$, thì $2^{\mathfrak{a}} \leqslant 1 + \mathfrak{a}\mathfrak{b}$ (chú ý rằng nếu $\mathrm{Y} \subset \mathrm{A}$ và $\mathrm{Y} \neq \emptyset$, thì $f(\mathrm{Y}) \in \mathrm{A}$).

(b) Cho B là tập hợp tất cả các $x \in \mathrm{E}$ sao cho, với mỗi tập con khác rỗng X của $\overset{-1}{f}(x)$, $\mathrm{Card}\,(\mathrm{X}) \leqslant \mathfrak{b}$. Chứng minh rằng $\mathrm{Card}\,(\mathrm{B}) \leqslant \mathfrak{b}$.