Exercice 1, § 4

a) Soient E un ensemble, $\mathfrak{F}(E)$ l'ensemble des parties finies de E. Montrer que $\mathfrak{F}(E)$ est la plus petite des parties $\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{P}(E)$ satisfaisant aux conditions suivantes: 1° $\varnothing \in \mathfrak{G}$; 2° les relations X ∈ $\mathfrak{G}$ et x ∈ E entraînent X ∪ {x} ∈ $\mathfrak{G}$. b) Déduire de a) que la réunion de deux parties finies A, B de E est finie (considérer l'ensemble des parties X de E telles que X ∪ A soit fini; cf. III, p. 31, cor. 1). c) Déduire de a) et b) que pour tout ensemble fini E, $\mathfrak{P}(E)$ est un ensemble fini (considérer l'ensemble des parties X de E telles que $\mathfrak{P}(X)$ soit fini; cf. III, p. 36, cor. 4).