Bài tập 1, § 4

(a) Cho E là một tập hợp và $\mathfrak{F}(\mathrm{E})$ là tập hợp các tập con hữu hạn của E. Chứng minh rằng $\mathfrak{F}(\mathrm{E})$ là tập con nhỏ nhất $\mathfrak{G}$ của $\mathfrak{P}(\mathrm{E})$ thỏa mãn các điều kiện sau : (i) $\emptyset \in \mathfrak{G}$; (ii) các hệ thức $\mathrm{X} \in \mathfrak{G}$ và $x \in \mathrm{E}$ suy ra

(b) Suy ra từ (a) rằng hợp của hai tập con hữu hạn A, B của E là hữu hạn (xét tập hợp các tập con X của E sao cho $\mathrm{X} \cup \mathrm{A}$ là hữu hạn; xem § 5, no. 1, Mệnh đề 1, Hệ quả 1).

(c) Suy ra từ (a) và (b) rằng với mọi tập hợp hữu hạn E thì tập hợp $\mathfrak{P}(\mathrm{E})$ là hữu hạn (xét tập hợp các tập con X của E sao cho $\mathfrak{P}(\mathrm{X})$ là hữu hạn; xem § 5, no. 1, Mệnh đề 1, Hệ quả 4).