Exercice 13, § 5

Soient E un ensemble à 2m éléments, q un entier $< m$, $\mathfrak{F}$ l’ensemble des parties $\mathfrak{S}$ de $\mathfrak{P}(E)$ ayant la propriété suivante: si X et Y sont deux éléments distincts de $\mathfrak{S}$, tels que $X \subset Y$, alors le nombre d’éléments de $Y - X$ est au plus 2q. a) Soit $\mathfrak{M} = (A_i)_{1 \leq i \leq p}$ un élément de $\mathfrak{F}$ tel que $p = \mathrm{Card}(\mathfrak{M})$ soit le plus grand possible. Montrer que l’on a $m - q \leq \mathrm{Card}(A_i) \leq m + q$ pour $1 \leq i \leq p$. (Raisonner par l’absurde, en supposant qu’il existe par exemple des $A_i$ tels que $\mathrm{Card}(A_i) < m - q$, et considérer ceux des $A_i$ pour lesquels $\mathrm{Card}(A_i)$ a la plus petite valeur possible $m - q - s$ (avec $s \geq 1$); soient par exemple $A_1, \ldots, A_r$ ces ensembles. Soit $\mathfrak{G}$ l’ensemble des parties de E dont chacune est réunion d’un $A_i$ ($1 \leq i \leq r$) et d’une partie à $2q + 1$ éléments contenue dans $E - A_i$; montrer que $\mathfrak{G}$ contient au moins $r + 1$ éléments (cf. exerc. 12) et que si $B_1, \ldots, B_{r+1}$ sont $r + 1$ éléments de $\mathfrak{G}$, l’ensemble formé des parties

appartient à $\mathfrak{F}$, contrairement à l’hypothèse.) b) Déduire de a) que le nombre d’éléments $p$ de tout ensemble $\mathfrak{S} \in \mathfrak{F}$ satisfait à l’inégalité

c) Établir les résultats analogues à ceux de a) et b) lorsque 2m ou 2q est remplacé par un nombre impair.

EXERCICES