Bài tập 13, § 5

Cho E là một tập hợp có $2m$ phần tử, cho $q$ là một số nguyên $< m$, và cho $\mathfrak{F}$ là tập hợp tất cả các tập con $\mathfrak{S}$ của $\mathfrak{P}(E)$ có tính chất sau: nếu X và Y là hai phần tử phân biệt của $\mathfrak{S}$ sao cho $X \subset Y$, thì $Y - X$ có nhiều nhất $2q$ phần tử.

(a) Cho $\mathfrak{M} = (A_i)_{1 \leqslant i \leqslant p}$ là một phần tử của $\mathfrak{F}$ sao cho $p = \mathrm{Card}\,(\mathfrak{M})$ là lớn nhất có thể. Chứng minh rằng $m - q \leqslant \mathrm{Card}\,(A_i) \leqslant m + q$ với $1 \leqslant i \leqslant p$. (Lập luận bằng phản chứng. Giả sử, chẳng hạn, rằng tồn tại các chỉ số $i$ sao cho $\mathrm{Card}\,(A_i) < m - q$, và xét những $A_i$ mà $\mathrm{Card}\,(A_i)$ có giá trị nhỏ nhất có thể là $m - q - s$ (với $s \geqslant 1$). Giả sử rằng $A_1$, $\ldots$, $A_r$ là các tập hợp này. Cho $\mathfrak{G}$ là tập hợp các tập con của E mà mỗi tập trong đó là hợp của một số $A_i (1 \leqslant i \leqslant r)$ và một tập con gồm $2q + 1$ phần tử được chứa trong $E - A_i$. Chứng minh rằng $\mathfrak{G}$ chứa ít nhất $r + 1$ phần tử (xem Bài tập 12), và rằng nếu $B_1$, $\ldots$, $B_{r+1}$ là $r + 1$ phần tử phân biệt của $\mathfrak{G}$, thì tập hợp mà các phần tử của nó là các $B_j (1 \leqslant j \leqslant r + 1)$ và các $A_i (r + 1 \leqslant i \leqslant p)$ thuộc về $\mathfrak{F}$, trái với giả thiết.)

(b) Suy ra từ (a) rằng số các phần tử $p$ của mỗi $\mathfrak{S} \in \mathfrak{F}$ thỏa mãn bất đẳng thức

(c) Thiết lập các kết quả tương tự như các kết quả của (a) và (b) khi $2m$ hoặc $2q$ được thay thế bởi một số lẻ.