Exercice 15, § 5

Soient E un ensemble fini, $\mathfrak{L}$ et $\mathfrak{G}$ deux parties non vides de $\mathfrak{P}(E)$ sans élément commun; on suppose que $\lambda, h, k, l$ sont quatre entiers $\geq 1$ ayant les propriétés suivantes: $1^\circ$ pour tout $A \in \mathfrak{L}$ et tout $B \in \mathfrak{G}$, $\mathrm{Card}(A \cap B) \geq \lambda$; $2^\circ$ pour tout $A \in \mathfrak{L}$, $\mathrm{Card}(A) \leq h$; $3^\circ$ pour tout $B \in \mathfrak{G}$, $\mathrm{Card}(B) \leq k$; $4^\circ$ pour tout $x \in E$, le nombre d’éléments de $\mathfrak{L} \cup \mathfrak{G}$ auxquels $x$ appartient est égal à $l$. Montrer alors que l’on a $\mathrm{Card}(E) \leq hk/\lambda$. (Soit $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ la suite des éléments distincts de E rangés dans un certain ordre, et pour tout $i$, soit $r_i$ le nombre d’éléments de $\mathfrak{L}$ auxquels appartient $a_i$. Montrer que si $\mathrm{Card}(\mathfrak{L}) = s$, $\mathrm{Card}(\mathfrak{G}) = t$, on a $\sum_{i=1}^n r_i \leq sh$, $\sum_{i=1}^n (l - r_i) \leq tk$ et $\sum_{i=1}^n r_i(l - r_i) \geq \lambda st$). Pour que $\mathrm{Card}(E) = hk/\lambda$, il faut et il suffit que pour tout $A \in \mathfrak{L}$ et tout $B \in \mathfrak{G}$, on ait $\mathrm{Card}(A) = h$, $\mathrm{Card}(B) = k$, $\mathrm{Card}(A \cap B) = \lambda$ et qu’il existe un $r \leq l$ tel que pour tout $x \in E$, le nombre d’éléments de $\mathfrak{L}$ auxquels appartient $x$ soit égal à $r$.