Bài tập 15, § 5

Cho E là một tập hợp hữu hạn, cho $\mathfrak{L}$ và $\mathfrak{C}$ là hai tập con rời nhau không rỗng của $\mathfrak{P}(\mathrm{E})$, và cho $\lambda, h, k, l$ là bốn số nguyên $\geqslant 1$ có các tính chất sau: (i) với mỗi $\mathrm{A} \in \mathfrak{L}$ và mỗi $\mathrm{B} \in \mathfrak{C}$, $\mathrm{Card}\,(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \geqslant \lambda$; (ii) với mỗi $\mathrm{A} \in \mathfrak{L}$, $\mathrm{Card}\,(\mathrm{A}) \geqslant h$; (iii) với mỗi $\mathrm{B} \in \mathfrak{C}$, $\mathrm{Card}\,(\mathrm{B}) \leqslant k$; (iv) với mỗi $x \in \mathrm{E}$, số các phần tử của $\mathfrak{L} \cup \mathfrak{C}$ chứa $x$ bằng đúng $l$. Chứng minh rằng $\mathrm{Card}\,(\mathrm{E}) \leqslant hk/\lambda$. (Gọi $(a_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ là dãy các phần tử phân biệt của E được sắp xếp theo một thứ tự nào đó, và với mỗi $i$ gọi $r_i$ là số các phần tử của $\mathfrak{L}$ mà $a_i$ thuộc vào. Chứng minh rằng, nếu $\mathrm{Card}\,(\mathfrak{L}) = s$ và $\mathrm{Card}\,(\mathfrak{C}) = t$, thì ta có

Để $\mathrm{Card}\,(\mathrm{E})$ bằng $hk/\lambda$ là điều kiện cần và đủ rằng với mỗi $\mathrm{A} \in \mathfrak{L}$ và mỗi $\mathrm{B} \in \mathfrak{C}$ ta có $\mathrm{Card}\,(\mathrm{A}) = h$, $\mathrm{Card}\,(\mathrm{B}) = k$,

Card $(A \cap B) = \lambda$, và tồn tại một $r \leqslant l$ sao cho với mỗi $x \in E$ số các phần tử của $\mathfrak{L}$ mà $x$ thuộc vào bằng $r$.