Exercice 16, § 5

Soient E un ensemble fini à $n$ éléments, $\mathfrak{D}$ une partie non vide de $\mathfrak{P}(E)$, $\lambda, k, l$ trois entiers $\geq 1$ ayant les propriétés suivantes: $1^\circ$ si $A, B$ sont deux éléments distincts de $\mathfrak{D}$, $\mathrm{Card}(A \cap B) = \lambda$; $2^\circ$ pour tout $A \in \mathfrak{D}$, $\mathrm{Card}(A) \leq k$; $3^\circ$ pour tout $x \in E$, le nombre d’éléments de $\mathfrak{D}$ auxquels $x$ appartient est égal à $l$. Montrer que l’on a $n(\lambda - 1) \leq k(k-1)$, et que si les deux membres de cette inégalité sont égaux, on a $\lambda = k$ et $\mathrm{Card}(\mathfrak{D}) = n$. (Étant donné $a \in E$, soit $\mathfrak{L}$ l’ensemble des $A - \{a\}$ pour les $A \in \mathfrak{D}$ telles que $a \in A$, et soit $\mathfrak{G}$ l’ensemble des $A \in \mathfrak{D}$ telles que $a \notin A$. Appliquer à $\mathfrak{L}$ et $\mathfrak{G}$ l’exerc. 15.)