Bài tập 16, § 5

Cho E là một tập hợp hữu hạn có $n$ phần tử, cho $\mathfrak{D}$ là một tập con khác rỗng của $\mathfrak{P}(E)$, và cho $\lambda$, $k$, $l$ là ba số nguyên $\geqslant 1$ thỏa mãn các tính chất sau: (i) nếu A, B là các phần tử phân biệt của $\mathfrak{D}$, thì Card $(A \cap B) = \lambda$; (ii) với mỗi $A \in \mathfrak{D}$, Card $(A) \leqslant k$; (iii) với mỗi $x \in E$, số các phần tử của $\mathfrak{D}$ mà $x$ thuộc vào bằng $l$. Hãy chứng minh rằng

và rằng nếu $n(\lambda - 1) = k(k - 1)$ thì $\lambda = k$ và Card $(\mathfrak{D}) = n$. (Cho $a \in E$, đặt $\mathfrak{L}$ là tập hợp của mọi $A - \{a\}$ với $A \in \mathfrak{D}$ và $a \in A$, và đặt $\mathfrak{E}$ là tập hợp của mọi $A \in \mathfrak{D}$ sao cho $a \notin A$. Hãy áp dụng các kết quả của Bài tập 15 cho $\mathfrak{L}$ và $\mathfrak{E}$.)