Exercice 17, § 5

Soient $i, h, k$ trois entiers tels que $i \geq 1$, $h \geq i$, $k \geq i$. Montrer qu’il existe un entier $m_i(h, k)$ ayant les propriétés suivantes: pour tout ensemble fini E ayant au moins $m_i(h, k)$ éléments, et toute partition $(\mathfrak{X}, \mathfrak{Y})$ de l’ensemble $\mathfrak{F}_i(E)$ des parties à $i$ éléments de E, il est impossible que toute partie à $h$ éléments de E contienne une partie $X \in \mathfrak{X}$ et que toute partie à $k$ éléments de E contienne une partie $Y \in \mathfrak{Y}$; en d’autres termes, si toute partie à $h$ éléments de E contient un $X \in \mathfrak{X}$, il existe une partie $A$ à $k$ éléments de E telle que toute partie à $i$ éléments de $A$ appartenne à $\mathfrak{X}$. (Raisonner par récurrence: on montrera qu’on peut prendre $m_1(h, k) = h + k - 1$, $m_i(i, k) = k$ et $m_i(h, i) = h$, et enfin $m_i(h, k) = m_{i-1}(m_i(h-1, k), m_i(h, k-1)) + 1$. E étant un ensemble ayant $m_i(h, k)$ éléments, $a$ un élément de E et $E' = E - \{a\}$, montrer que si la proposition était inexacte, toute partie à $m_i(h-1, k)$ éléments de $E'$ contiendrait une partie $X'$ à $i-1$ éléments telle que $X' \cup \{a\} \in \mathfrak{X}$, et que toute partie à $m_i(h, k-1)$ éléments de $E'$ contiendrait une partie $Y'$ à $i-1$ éléments telle que $Y' \cup \{a\} \in \mathfrak{Y}$.)