Bài tập 17, § 5

Cho $i, h, k$ là ba số nguyên sao cho $i \geqslant 1$, $h \geqslant i$, $k \geqslant i$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $m_i(h,\ k)$ có các tính chất sau : với mỗi tập hợp hữu hạn E có ít nhất $m_i(h,\ k)$ phần tử, và mỗi phân hoạch $(\mathfrak{X},\ \mathfrak{Y})$ của tập hợp $\mathfrak{F}_i(E)$ các tập con có $i$ phần tử của E, không thể xảy ra việc mọi tập con có $h$ phần tử của E đều chứa một tập con $X \in \mathfrak{X}$ và mọi tập con có $k$ phần tử của E đều chứa một tập con $Y \in \mathfrak{Y}$; nói cách khác, nếu mọi tập con có $h$ phần tử của E đều chứa một $X \in \mathfrak{X}$, thì tồn tại một tập con A có $k$ phần tử của E sao cho mọi tập con có $i$ phần tử của A đều thuộc $\mathfrak{X}$. (Chứng minh bằng quy nạp. Chứng minh rằng có thể lấy

và cuối cùng $m_i(h, k) = m_{i-1}(m_i(h - 1, k), m_i(h, k - 1)) + 1$. Nếu E là một tập hợp có $m_i(h,\ k)$ phần tử, nếu $a \in E$ và nếu $E' = E - \{a\}$, hãy chỉ ra rằng nếu mệnh đề là sai, thì mọi tập con gồm $m_i(h - 1,\ k)$ phần tử của E′ đều sẽ chứa một tập con X′ gồm $i - 1$ phần tử sao cho $X' \cup \{a\} \in \mathfrak{X}$, và mọi tập con gồm $m_i(h,\ k - 1)$ phần tử của E′ đều sẽ chứa một tập con Y′ gồm $i - 1$ phần tử sao cho $Y' \cup \{a\} \in \mathfrak{Y}$.)