Exercice 18, § 5

a) Soit E un ensemble ordonné fini à $p$ éléments. Si $m, n$ sont deux entiers tels que $mn < p$, montrer qu’il existe, ou bien une partie totalement ordonnée de E ayant $m$ éléments, ou bien une partie libre (III, p. 70, exerc. 5) de E ayant $n$ éléments (utiliser l’exerc. 5 de III, p. 81). b) Soient $h, k$ deux entiers $\geq 1$, et soit $r(h, k) = (h-1)(k-1) + 1$; soit I un ensemble fini totalement ordonné ayant au moins $r(h, k)$ éléments. Montrer que pour toute suite finie $(x_i)_{i \in I}$ d’éléments d’un ensemble totalement ordonné E, il existe, soit une partie H à h éléments de I telle que la suite $(x_i)_{i \in H}$ soit croissante, soit une partie K à k éléments de I telle que la suite $(x_i)_{i \in K}$ soit décroissante. (Utiliser a) appliqué à $I \times E$).