Bài tập 18, § 5

(a) Cho E là một tập hợp có thứ tự hữu hạn gồm $p$ phần tử. Nếu $m,n$ là hai số nguyên sao cho $mn < p$, hãy chứng minh rằng E hoặc có một tập con sắp thứ tự toàn phần gồm $m$ phần tử, hoặc có một tập con tự do (§ 1, Bài tập 5) gồm $n$ phần tử (dùng § 4, Bài tập 5).

(b) Cho $h, k$ là hai số nguyên $\geqslant 1$ và đặt $r(h, k) = (h - 1)(k - 1) + 1$. Cho I là một tập sắp thứ tự toàn phần hữu hạn có ít nhất $r(h,\ k)$ phần tử. Hãy chứng minh rằng, với mọi dãy hữu hạn $(x_i)_{i \in I}$ các phần tử của một tập sắp thứ tự toàn phần E, hoặc tồn tại một tập con H gồm $h$ phần tử của I sao cho dãy $(x_i)_{i \in H}$ là tăng, hoặc tồn tại một tập con K gồm $k$ phần tử của I sao cho dãy $(x_i)_{i \in K}$ là giảm. (Dùng (a) áp dụng cho $I \times E$.)