Exercice 3, § 5

Étiquette 03MF, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 03MF].

Théorie des ensembles, III, p. 83

Démontrer les relations

\binom{n}{0} \binom{n}{p} + \binom{n}{1} \binom{n-1}{p-1} + \binom{n}{2} \binom{n-2}{p-2} + \cdots + \binom{n}{p} \binom{n-p}{0} = 2^n \binom{n}{p}

\binom{n}{0} \binom{n}{p} - \binom{n}{1} \binom{n-1}{p-1} + \binom{n}{2} \binom{n-2}{p-2} - \cdots + (-1)^n \binom{n}{p} \binom{n-p}{0} = 0.

(Considérer, parmi les parties à

p

éléments de

\{1, n\}

, celles qui contiennent une partie donnée à

k

éléments

(0 \leq k \leq p)

et utiliser l'exerc. 2 pour la seconde formule.)

Solution

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