Exercice 7, § 5

Étiquette 03MJ, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 03MJ].

Théorie des ensembles, III, p. 84

a) Soit $S_{n,p}$ le nombre des applications de $\{1, n\}$ sur $\{1, p\}$ . Démontrer la formule

S_{n,p} = p^n - \binom{p}{1}(p-1)^n + \binom{p}{2}(p-2)^n - \ldots + (-1)^{p-1} \binom{p}{p-1}.

(Remarquer que

p^n = S_{n,p} + \binom{p}{1} S_{n,p-1} + \binom{p}{2} S_{n,p-2} + \cdots + \binom{p}{p-1}

et utiliser l’exerc. 3 de III, p. 83.) b) Démontrer la formule

S_{n,p} = p(S_{n-1,p} + S_{n-1,p-1})

(méthode de III, p. 43, prop. 13). c) Démontrer les formules

S_{n+1,n} = \frac{n}{2} (n+1)!

S_{n+2,n} = \frac{n(3n+1)}{24} (n+2)!

(considérer les éléments r de

\{1, n\}

dont l’image réciproque a plus d’un élément). d) Si

P_{n,p}

est le nombre de partitions d’un ensemble à n éléments, comprenant p parties, montrer que

S_{n,p} = p! P_{n,p}.

Solution

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