Bài tập 7, § 5

(a) Gọi $S_{n,p}$ là số các ánh xạ của $[1,n]$ lên $[1,p]$. Chứng minh rằng

(Chú ý rằng $p^n=S_{n,p}+\binom{p}{1}S_{n,p-1}+\binom{p}{2}S_{n,p-2}+\cdots+\binom{p}{p-1}$ và sử dụng Bài tập 3.)

(b) Chứng minh rằng $S_{n,p}=p(S_{n-1,p}+S_{n-1,p-1})$ (phương pháp của số 8, Mệnh đề 13).

(c) Chứng minh rằng

(xét các phần tử $r$ của $[1, n]$ mà ảnh ngược của chúng gồm nhiều hơn một phần tử).

(d) Nếu $\mathrm{P}_{n,p}$ là số các phân hoạch thành $p$ phần của một tập hợp gồm $n$ phần tử, hãy chứng minh rằng $\mathrm{S}_{n,p} = p!\mathrm{P}_{n,p}$.