Exercice 10, § 6

On désigne par $\omega$ ou $\omega_0$ l’ordinal $\mathrm{Ord}(\mathbf{N})$ (III, p. 77, exerc. 14); l’ensemble des entiers est donc un ensemble bien ordonné isomorphe à l’ensemble des ordinaux $< \omega$; pour tout entier $n$, on désigne encore par $n$ (par abus de langage) l’ordinal $\mathrm{Ord}(\{0, n\})$. a) Montrer que, pour tout cardinal $\alpha$, la relation « $\xi$ est un ordinal et $\mathrm{Card}(\xi) < \alpha$ » est collectivisante (utiliser le th. de Zermelo). On désigne par $W(\alpha)$ l’ensemble des ordinaux $\xi$ tels que $\mathrm{Card}(\xi) < \alpha$. b) Pour tout ordinal $\alpha > 0$, on définit, par récurrence transfinie, dans l’ensemble bien ordonné $O'(\alpha)$ des ordinaux $\leq \alpha$, une fonction $f_\alpha$, par les conditions suivantes: $f_\alpha(0) = \omega_0 = \omega$, et pour tout $\xi$ tel que $0 < \xi \leq \alpha$, $f_\alpha(\xi)$ est la borne supérieure (III, p. 77, exerc. 14 d)) de l’ensemble des ordinaux $\zeta$ tels que $\mathrm{Card}(\zeta) \leq \mathrm{Card}(f_\alpha(\eta))$ pour un ordinal $\eta < \xi$ au moins. Montrer que, si $0 \leq \eta < \xi \leq \alpha$, on a $\mathrm{Card}(f_\alpha(\eta)) < \mathrm{Card}(f_\alpha(\xi))$ et que si $\xi \leq \alpha \leq \beta$, on a $f_\alpha(\xi) = f_\beta(\xi)$; on pose $\omega_\alpha = f_\alpha(\alpha)$, et on dit que $\omega_\alpha$ est l’ordinal initial d’indice $\alpha$; on a $\omega_\alpha \geq \alpha$. On pose $\aleph_\alpha = \mathrm{Card}(\omega_\alpha)$, et on dit que $\aleph_\alpha$ est l’aleph d’indice $\alpha$; en particulier $\aleph_0 = \mathrm{Card}(\mathbf{N})$. c) Montrer que, pour tout cardinal infini $\alpha$, la borne supérieure $\lambda$ de l’ensemble d’ordinaux

W(α) est un ordinal initial ω_α, et que l’on a α = θ_α (considérer le plus petit des ordinaux μ tels que ω_μ ≥ λ); autrement dit, ω_α est le plus petit ordinal ξ tel que Card(ξ) = θ_α. Pour tout ordinal α, l’application ξ ↦ θ_ξ, définie dans O′(α), est un isomorphisme de l’ensemble bien ordonné O′(α) sur l’ensemble bien ordonné des cardinaux ≤ θ_α; en particulier, θ_{α+1} est le plus petit des cardinaux > θ_α. Montrer que, si α n’a pas de prédécesseur, alors, pour toute application strictement croissante ξ ↦ σ_ξ d’un ordinal β dans α telle que α = sup_{ξ < β} σ_ξ, on a $\sum_{\xi < \beta} \theta_{\sigma_\xi} = \theta_\alpha$.

d) Déduire de c) que ω_ξ est un symbole fonctionnel ordinal normal (III, p. 78, exerc. 17).