Bài tập 10, § 6

Cho $\omega$ hoặc $\omega_0$ ký hiệu số thứ tự Ord (N) (§ 2, bài tập 14). Tập hợp tất cả các số nguyên khi đó là một tập được sắp thứ tự tốt đẳng cấu với tập hợp tất cả các số thứ tự $< \omega$. Với mỗi số nguyên $n$ ta lại ký hiệu bởi $n$ (do lạm dụng ngôn ngữ) số thứ tự Ord $([0, n[)$.

(a) Chứng minh rằng với mỗi lực lượng $\mathfrak{a}$ quan hệ "$\xi$ là một số thứ tự và Card $(\xi) < \mathfrak{a}$" là xác định tập (dùng định lý Zermelo). Gọi $W(\mathfrak{a})$ là tập hợp tất cả các số thứ tự $\xi$ sao cho Card $(\xi) < \mathfrak{a}$.

(b) Với mỗi số thứ tự $\alpha > 0$ định nghĩa một hàm $f_\alpha$ trên tập được sắp thứ tự tốt $O'(\alpha)$ gồm các số thứ tự $\leqslant \alpha$ bằng quy nạp siêu hạn như sau : $f_\alpha(0) = \omega_0 = \omega$, và với mỗi số thứ tự $\xi$ sao cho $0 < \xi \leqslant \alpha$, $f_\alpha(\xi)$ là cận trên nhỏ nhất (§ 2, bài tập 14 (d)) của tập hợp các số thứ tự $\zeta$ sao cho $\mathrm{Card}(\zeta) \leqslant \mathrm{Card}(f_\alpha(\eta))$ với ít nhất một số thứ tự $\eta < \xi$. Chứng minh rằng, nếu $0 \leqslant \eta < \xi \leqslant \alpha$, thì $\mathrm{Card}(f_\alpha(\eta)) < \mathrm{Card}(f_\alpha(\xi))$ và rằng, nếu $\xi \leqslant \alpha \leqslant \beta$, thì $f_\alpha(\xi) = f_\beta(\xi)$. Đặt $\omega_\alpha = f_\alpha(\alpha)$; $\omega_\alpha$ được gọi là số thứ tự ban đầu với chỉ số $\alpha$. Ta có $\omega_\alpha \geqslant \alpha$. Đặt $\aleph_\alpha = \mathrm{Card}(\omega_\alpha)$; $\aleph_\alpha$ được gọi là aleph với chỉ số $\alpha$. Đặc biệt, $\aleph_0 = \mathrm{Card}\ (\mathbf{N})$.

(c) Chứng minh rằng với mỗi lực lượng vô hạn $\mathfrak{a}$ cận trên nhỏ nhất $\lambda$ của tập hợp các số thứ tự $W(\mathfrak{a})$ là một số thứ tự ban đầu $\omega_\alpha$, và rằng $\mathfrak{a} = \aleph_\alpha$ (xét số thứ tự nhỏ nhất $\mu$ sao cho $\omega_\mu \geqslant \lambda$); nói cách khác, $\omega_\alpha$ là số thứ tự nhỏ nhất $\xi$ sao cho $\mathrm{Card}(\xi) = \aleph_\alpha$. Với mỗi số thứ tự $\alpha$, ánh xạ $\xi \rightarrow \aleph_\xi$, được định nghĩa trên $O'(\alpha)$, là một đẳng cấu của tập được sắp thứ tự tốt $O'(\alpha)$ lên tập được sắp thứ tự tốt của các lực lượng $\leqslant \aleph_\alpha$; đặc biệt, $\aleph_{\alpha+1}$ là lực lượng nhỏ nhất $> \aleph_\alpha$. Chứng minh rằng, nếu $\alpha$ không có số tiền nhiệm, thì với mọi ánh xạ tăng ngặt $\xi \rightarrow \sigma_\xi$ của một số thứ tự $\beta$ vào $\alpha$ sao cho $\alpha = \sup_{\xi < \beta} \sigma_\xi$, ta có

(d) Suy ra từ (c) rằng $\omega_\xi$ là một phiếm hàm số thứ tự chuẩn (§ 2, bài tập 17).