Exercice 16, § 6

Tout ensemble totalement ordonné $E$ possède une partie bien ordonnée qui lui est cofinale (III, p. 75, exerc. 2). Le plus petit des ordinaux $\mathrm{Ord}(M)$ pour toutes les parties bien ordonnées $M$ de $E$, cofinales à $E$, est appelé le caractère final de $E$. a) On dit qu’un ordinal $\xi$ est régulier s’il est égal à son caractère final, singulier dans le cas contraire. Montrer que tout ordinal régulier infini est un ordinal initial $\omega_\alpha$ (III, p. 87, exerc. 10). Inversement, tout ordinal intial $\omega_\alpha$ dont l’indice $\alpha$ est égal à 0 ou admet un prédécesseur, est un ordinal régulier. Un ordinal initial $\omega_\alpha$ dont l’indice n’admet pas de prédécesseur est singulier si $0 < \alpha < \omega_\alpha$; en particulier, $\omega_\omega$ est le plus petit ordinal initial singulier infini. b) On dit qu’un ordinal initial $\omega_\alpha$ est inaccessible s’il est régulier et si son indice $\alpha$ n’a pas de prédécesseur. Montrer que si $\alpha > 0$, on a alors $\omega_\alpha = \alpha$, autrement dit $\alpha$ est un ordinal critique pour le symbole fonctionnel normal $\omega_\eta$ (exerc. 10 d) et 13 c) (III, p. 88)). Soit $\kappa$ le plus petit ordinal critique pour ce symbole fonctionnel; montrer que $\omega_\kappa$ est singulier, de caractère final $\omega$ (cf. III, p. 88, exerc. 13 d)). Autrement dit, il n’existe aucun ordinal inaccessible $\omega_\alpha$ tel que $0 < \alpha \leq \kappa$. c) Montrer qu’il n’existe qu’un seul ordinal régulier cofinal à un ensemble totalement ordonné $E$; cet ordinal est égal au caractère final de $E$, et si $E$ est non vide et n’a pas de plus grand élément, c’est un ordinal initial. Si $\omega_{\overline{\alpha}}$ est le caractère final de $\omega_\alpha$, on a $\overline{\alpha} \leq \alpha$; pour que $\omega_\alpha$ soit régulier, il faut et il suffit que $\overline{\alpha} = \alpha$.

¹ On ne sait pas démontrer, à l’heure actuelle, qu’il existe des ordinaux inaccessibles autres que $\omega$.

d) Soient $\omega_\alpha$ un ordinal régulier, $I$ un ensemble d’indices bien ordonné, tel que $\mathrm{Ord}(I) < \omega_\alpha$. Montrer que, pour tout famille $(\xi_t)_{t \in I}$ d’ordinaux telle que $\xi_t < \omega_\alpha$ pour tout $t \in I$, on a $\sum_{t \in I} \xi_t < \omega_\alpha$.