Bài tập 16, § 6

Mọi tập được sắp thứ tự toàn phần đều có một tập con đồngfinal được sắp tốt (§2, Bài tập 2). Số bé nhất trong các số thứ tự Ord (M) của các tập con đồngfinal được sắp tốt M của E được gọi là đặc trưng cuối của E.

(a) Một số thứ tự $\xi$ được gọi là chính quy nếu nó bằng đặc trưng cuối của nó, và kỳ dị trong trường hợp ngược lại. Chứng minh rằng mọi số thứ tự chính quy vô hạn đều là một số thứ tự ban đầu $\omega_\alpha$ (Bài tập 10). Ngược lại, mọi số thứ tự ban đầu $\omega_\alpha$, mà chỉ số $\alpha$ hoặc là 0 hoặc có một phần tử tiền nhiệm, là một số thứ tự chính quy. Một số thứ tự ban đầu $\omega_\alpha$ mà chỉ số $\alpha$ không có phần tử tiền nhiệm là kỳ dị nếu $0 < \alpha < \omega_\alpha$; đặc biệt, $\omega_\omega$ là số thứ tự ban đầu kỳ dị vô hạn bé nhất.

(b) Một số thứ tự ban đầu $\omega_\alpha$ được gọi là không thể tiếp cận nếu nó là chính quy và chỉ số $\alpha$ của nó không có phần tử kế tiếp. Chứng minh rằng, nếu $\alpha = 0$, thì $\omega_\alpha = \alpha$; nói cách khác, $\alpha$ là một số thứ tự tới hạn đối với ký hiệu phiếm hàm chuẩn $\omega_\eta$ (Bài tập 10 (d) và 13 (c)). Cho $\varkappa$ là số thứ tự tới hạn nhỏ nhất đối với ký hiệu phiếm hàm này. Chứng minh rằng $\omega_\varkappa$ là suy biến, với đặc trưng cuối cùng là $\omega$ (xem Bài tập 13 (d)). Nói cách khác, không tồn tại số thứ tự không thể tiếp cận $\omega_\alpha$ nào sao cho $0 < \alpha \leqslant \varkappa$.[^1]

(c) Chứng minh rằng chỉ tồn tại duy nhất một số thứ tự chính quy có tính đồng cuối trong một tập sắp thứ tự toàn phần E đã cho; số thứ tự này bằng đặc trưng cuối của E, và nếu E không rỗng và không có phần tử lớn nhất, thì nó là một số thứ tự ban đầu. Nếu $\omega_{\bar{\alpha}}$ là đặc trưng cuối của $\omega_\alpha$, thì $\bar{\alpha} \leqslant \alpha$; và $\omega_\alpha$ là chính quy khi và chỉ khi $\alpha = \bar{\alpha}$.

(d) Cho $\omega_\alpha$ là một số thứ tự chính quy và cho I là một tập được sắp thứ tự tốt sao cho Ord (I) $< \omega_\alpha$. Chứng minh rằng, với mỗi họ $(\xi_\iota)_{\iota \in I}$ các số thứ tự sao cho $\xi_\iota < \omega_\alpha$ với mọi $\iota \in I$, ta có $\sum_{\iota \in I} \xi_\iota < \omega_\alpha$.

[^1]: Hiện nay chưa biết liệu có tồn tại hay không các số thứ tự không thể đạt được khác ngoài $\omega$.