Exercice 22, § 6

On dit qu’un cardinal $\aleph_\alpha$ est inaccessible si l’ordinal $\omega_\alpha$ est inaccessible (III, p. 89, exerc. 16 b); on a alors $\omega_\alpha = \alpha$ si $\omega_\alpha \neq \omega_0$. On dit qu’un cardinal $\alpha$ est fortement inaccessible s’il est inaccessible et dominant (exerc. 21). a) L’hypothèse du continu généralisé entraîne que tout cardinal inaccessible est fortement inaccessible.

b) Pour qu’un cardinal $\alpha \geqslant 3$ soit fortement inaccessible, il faut et il suffit que, pour toute famille $(\alpha_t)_{t \in I}$ de cardinaux telle que $\mathrm{Card}(I) < \alpha$ et $\alpha_t < \alpha$ pour tout $t \in I$, on ait $\prod_{t \in I} \alpha_t < \alpha$.

c) Pour qu’un cardinal infini $\alpha$ soit fortement inaccessible, il faut et il suffit qu’il soit dominant (III, p. 90, exerc. 21) et qu’il vérifie l’une des deux conditions suivantes : $\alpha$) pour tout cardinal $b$ tel que $0 < b < \alpha$, on a $\alpha^b = \alpha ; \beta$) pour tout cardinal $b > 0$, on a $\alpha^b = \alpha . 2^b$. (Utiliser les exerc. 20 et 21 de III, p. 90.)