Bài tập 22, § 6

Một bản số $\aleph_\alpha$ được gọi là không thể tiếp cận nếu thứ tự tốt $\omega_\alpha$ là không thể tiếp cận (Bài tập 16 (b)). Khi đó ta có $\omega_\alpha=\alpha$ nếu $\omega_\alpha\neq\omega_0$. Một lực lượng $\alpha$ được gọi là không thể tiếp cận mạnh nếu nó không thể tiếp cận và trội (Bài tập 21).

(a) Giả thiết continuum tổng quát kéo theo rằng mọi lực lượng không thể tiếp cận đều không thể tiếp cận mạnh.

(b) Để một lực lượng $\mathfrak{a} \geqslant 3$ là không thể tiếp cận mạnh, điều kiện cần và đủ là, đối với mỗi họ $(\mathfrak{a}_\iota)_{\iota \in I}$ các lực lượng sao cho

với mọi $\iota \in I$, ta có $\prod_{\iota \in I} \mathfrak{a}_\iota < \mathfrak{a}$.

(c) Để một lực lượng vô hạn $\mathfrak{a}$ là không thể tiếp cận mạnh, điều kiện cần và đủ là nó phải trội (Bài tập 21) và nó phải thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: (i) $\mathfrak{a}^{\mathfrak{b}} = \mathfrak{a}$ với mọi lực lượng $\mathfrak{b}$ sao cho $0 < \mathfrak{b} < \mathfrak{a}$; (ii) $\mathfrak{a}^{\mathfrak{b}} = \mathfrak{a}.2^{\mathfrak{b}}$ với mọi lực lượng $\mathfrak{b} > 0$. (Sử dụng các Bài tập 20 và 21.)