Exercice 23, § 6

Soit $\alpha$ un ordinal $> 0$; on dit qu’une application $f$ de l’ordinal $\alpha$ dans lui-même est divergente si, pour tout ordinal $\lambda_0 < \alpha$, il existe un ordinal $\mu_0 < \alpha$ tel que la relation $\mu_0 \leqslant \xi < \alpha$ entraîne $\lambda_0 \leqslant f(\xi) < \alpha$.\footnote{Si on munit l’ensemble bien ordonné $O'_\alpha$ des ordinaux $\leqslant \alpha$ de la topologie $\mathscr{T}_-(O'_\alpha)$ (TG, I, § 1, exerc. 5), cette condition peut encore s’écrire $\lim_{\xi \to \alpha, \xi < \alpha} f(\xi) = \alpha$.}

a) Soit $\varphi$ une application strictement croissante d’un ordinal $\beta$ dans $\alpha$, telle que $\varphi(\sup \zeta) = \sup \varphi(\zeta)$ pour tout $\gamma < \beta$, et que $\sup \varphi(\zeta) = \alpha$.\footnote{En prolongeant $\varphi$ à $O'_\beta$ par la condition $\varphi(\beta) = \alpha$, les conditions précédentes signifient que $\varphi$ est continue lorsqu’on munit $O'_\alpha$ et $O'_\beta$ des topologies $\mathscr{T}_-(O'_\alpha)$ et $\mathscr{T}_-(O'_\beta)$ (TG, I, § 1, exerc. 5).} Pour qu’il existe une application $f$ de $\alpha$ dans lui-même, divergente et telle que $f(\xi) < \xi$ pour tout $\xi$ tel que $0 < \xi < \alpha$, il faut et il suffit qu’il existe une application de même nature de $\beta$ dans lui-même.

b) Déduire de a) que, pour qu’il existe une application $f$ de $\omega_\alpha$ dans lui-même, divergente et telle que $f(\xi) < \xi$ pour $0 < \xi < \omega_\alpha$, il faut et il suffit que le caractère final de $\omega_\alpha$ soit $\omega_0$ (si $\omega_\alpha$ est un ordinal régulier $> \omega_0$, définir par récurrence une suite strictement croissante $(\eta_n)$ par les conditions $\eta_1 = 1, \eta_{n+1}$ étant le plus petit ordinal $\zeta$ tel que, pour $\xi \geqslant \zeta, f(\xi) > \eta_n$).

c) Soit $\omega_{\overline{\alpha}}$ le caractère final de $\omega_\alpha$ (III, p. 89, exerc. 16); montrer que, si $\overline{\alpha} > 0$ et si $f$ est une application de $\omega_\alpha$ dans lui-même telle que $f(\xi) < \xi$ pour tout $\xi$ tel que $0 < \xi < \omega_\alpha$, il existe $\lambda_0$ tel que l’ensemble des solutions de l’équation $f(\xi) = \lambda_0$ ait un cardinal au moins égal à $\aleph_{\overline{\alpha}}$.