Bài tập 23, § 6

Cho $\alpha$ là một thứ tự tốt $> 0$. Một ánh xạ $f$ của thứ tự tốt $\alpha$ vào chính nó được gọi là phân kỳ nếu với mỗi thứ tự tốt $\lambda_0 < \alpha$ tồn tại một thứ tự tốt $\mu_0 < \alpha$ sao cho quan hệ $\mu_0 \leqslant \xi < \alpha$ kéo theo $\lambda_0 \leqslant f(\xi) < \alpha$ [^1].

(a) Cho $\varphi$ là một ánh xạ tăng ngặt của một thứ tự tốt $\beta$ vào $\alpha$ sao cho

và sao cho

[^2]

Khi đó tồn tại một ánh xạ phân kỳ $f$ của $\alpha$ vào chính nó, sao cho $f(\xi) < \xi$ với mọi $\xi$ thỏa mãn $0 < \xi < \alpha$, khi và chỉ khi tồn tại một ánh xạ phân kỳ của $\beta$ vào chính nó cùng kiểu.

(b) Suy ra từ (a) rằng tồn tại một ánh xạ phân kỳ của $\omega_\alpha$ vào chính nó, sao cho $f(\xi) < \xi$ với mọi $\xi$ thỏa mãn $0 < \xi < \alpha$, khi và chỉ khi đặc trưng cuối của $\omega_\alpha$ là $\omega_0$. (Nếu $\omega_\alpha$ là một thứ tự tốt chính quy $> \omega_0$, định nghĩa quy nạp một dãy tăng ngặt $(\eta_n)$ như sau : $\eta_1 = 1$, và $\eta_{n+1}$ là thứ tự tốt nhỏ nhất $\zeta$ sao cho $f(\xi) > \eta_n$ với mọi $\xi \geqslant \zeta$.)

(c) Cho $\omega_{\bar{\alpha}}$ là đặc trưng cuối của $\omega_\alpha$ (Bài tập 16). Chứng minh rằng, nếu $\bar{\alpha} > 0$ và nếu $f$ là một ánh xạ của $\omega_\alpha$ vào chính nó sao cho $f(\xi) < \zeta$ với mọi $\xi$ sao cho $0 < \xi < \omega_\alpha$, thì tồn tại một thứ tự tốt $\lambda_0$ sao cho tập các nghiệm của phương trình $f(\xi) = \lambda_0$ có một lực lượng $\geqslant \aleph_{\bar{\alpha}}$.

[^1]: Nếu tập được sắp tốt $O'_\alpha$ của các thứ tự tốt $\leqslant \alpha$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}_-(O'_\alpha)$ (Tôpô đại cương, Chương I, § 2, Bài tập 5), điều kiện này có thể được viết $\lim_{\xi \to \alpha, \, \xi < \alpha} f(\xi) = \alpha$.

[^2]: Nếu ta mở rộng $\varphi$ tới $O'_\beta$ bằng cách định nghĩa $\varphi(\beta) = \alpha$, các điều kiện trên biểu thị rằng $\varphi$ là liên tục đối với các tôpô $\mathscr{T}_-(O'_\alpha)$ và $\mathscr{T}_-(O'_\beta)$ trên $O'_\alpha$ và $O'_\beta$ tương ứng (loc. cit.).