Exercice 24, § 6

a) Soit $\mathfrak{F}$ un ensemble de parties d’un ensemble $E$, tel que, pour toute partie $A \in \mathfrak{F}$, on ait $\mathrm{Card}(A) = \mathrm{Card}(\mathfrak{F}) = \alpha \geqslant \aleph_0$. Montrer qu’il existe dans $E$ une partie $P$ telle que $\mathrm{Card}(P) = \alpha$ et qu’aucun ensemble de $\mathfrak{F}$ ne soit contenu dans $P$. (Si $\alpha = \aleph_\alpha$, définir par induction transfinie deux applications injectives $\xi \mapsto f(\xi), \xi \mapsto g(\xi)$ de $\omega_\alpha$ dans $E$ telles que les ensembles $P = f(\omega_\alpha)$ et $Q = g(\omega_\alpha)$ ne se rencontrent pas et que chacun d’eux rencontre toute partie $A \in \mathfrak{F}$).

b) On suppose en outre que, pour toute partie $G$ de $\mathfrak{F}$ telle que $\mathrm{Card}(G) < \alpha$, le complémentaire dans $E$ de la réunion des ensembles $A \in G$ ait un cardinal $\geqslant \alpha$; montrer alors qu’il existe dans $E$ une partie $P$ telle que $\mathrm{Card}(P) = \alpha$ et que, pour tout $A \in G$, $\mathrm{Card}(P \cap A) < \alpha$ (méthode analogue).