Bài tập 24, § 6

Cho $\mathfrak{F}$ là một tập hợp các tập con của một tập hợp E sao cho với mỗi $A \in \mathfrak{F}$ ta có Card $(A) =$ Card $(\mathfrak{F}) = \mathfrak{a} \geqslant \aleph_0$. Chứng minh rằng E có một tập con P sao cho Card $(P) = \mathfrak{a}$ và sao cho không có tập hợp nào của $\mathfrak{F}$ được chứa trong P. (Nếu $\mathfrak{a} = \aleph_\alpha$, định nghĩa bằng quy nạp siêu hạn hai ánh xạ đơn ánh $\xi \to f(\xi)$, $\xi \to g(\xi)$ của $\omega_\alpha$ vào E sao cho các tập hợp $P = f(\omega_\alpha)$ và $Q = g(\omega_\alpha)$ không giao nhau và sao cho mỗi tập hợp trong hai tập hợp này gặp mọi tập con $A \in \mathfrak{F}$.)

(b) Giả sử thêm rằng, với mỗi tập con $\mathfrak{G}$ của $\mathfrak{F}$ sao cho Card $(\mathfrak{G}) < \mathfrak{a}$, phần bù trong E của hợp của các tập hợp $A \in \mathfrak{G}$ có lực lượng $\geqslant \mathfrak{a}$. Chứng minh rằng khi đó E có một tập con P sao cho Card $(P) = \mathfrak{a}$ và sao cho, với mỗi $A \in \mathfrak{G}$, Card $(P \cap A) < \mathfrak{a}$ (phương pháp tương tự).