Exercice 27, § 6

Soient L un ensemble infini, $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille d’ensembles. On suppose que pour tout entier $n > 0$, l’ensemble des $\lambda \in L$ tels que $\operatorname{Card}(E_\lambda) > n$ est équipotent à L. Montrer que dans le produit $E = \prod_{\lambda \in L} E_\lambda$, il existe une partie F telle que $\operatorname{Card}(F) = 2^{\operatorname{Card}(L)}$, ayant la propriété suivante: pour toute suite finie $(f_k)_{1 \leq k \leq n}$ d’éléments distincts de F, il existe $\lambda \in L$ tel que les éléments $f_k(\lambda) \in E_\lambda$ ($1 \leq k \leq n$) soient deux à deux distincts. (Montrer d’abord qu’il existe une partition $(L_j)_{j \in \mathbf{N}}$ de L telle que $\operatorname{Card}(L_j) = \operatorname{Card}(L)$ pour tout $j$ et $\operatorname{Card}(E_\lambda) \geq 2^j$ pour tout $\lambda \in L_j$. Se ramener de la sorte au cas où L est somme de la famille dénombrable des ensembles $X^j$ ($j \geq 1$), où X est un ensemble infini, et où $E_\lambda = 2^j$ pour $\lambda \in X^j$. A toute application $g \in 2^X$ de X dans 2, faire correspondre l’élément $f \in E$ tel que pour $\lambda = (x_k)_{1 \leq k \leq j} \in X^j$ on ait $f(\lambda) = (g(x_1), \ldots, g(x_j))$; montrer que l’ensemble F des $f \in E$ ainsi définis répond à la question.)