Bài tập 27, § 6

Cho L là một tập vô hạn và $(\mathrm{E}_\lambda)_{\lambda \in \mathbf{L}}$ là một họ các tập hợp được đánh chỉ số bởi L. Giả sử rằng với mỗi số nguyên $n > 0$ tập hợp các $\lambda \in \mathrm{L}$ sao cho Card $(\mathrm{E}_\lambda) > n$ là cùng lực lượng với L. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một tập con F của tích $\mathrm{E} = \prod_{\lambda \in \mathbf{L}} \mathrm{E}_\lambda$, sao cho Card $(\mathrm{F}) = 2^{\mathrm{Card\ (L)}}$, và sao cho F có tính chất sau đây: với mỗi dãy hữu hạn $(f_k)_{1 \leqslant k \leqslant n}$ gồm các phần tử phân biệt của F tồn tại $\lambda \in \mathrm{L}$ sao cho các phần tử

đều phân biệt. (Trước hết hãy chỉ ra rằng tồn tại một phân hoạch $(\mathrm{L}_j)_{j \in \mathbf{N}}$ của L sao cho Card $(\mathrm{L}_j) =$ Card (L) với mọi $j$, và sao cho Card $(\mathrm{E}_\lambda) \geqslant 2^j$ đối với mỗi $\lambda \in \mathrm{L}_j$. Từ đó rút gọn về trường hợp L là tổng của họ đếm được các tập hợp $\mathrm{X}^j$ $(j \geqslant 1)$, trong đó X là một tập vô hạn, và $\mathrm{E}_\lambda = 2^j$ đối với mỗi $\lambda \in \mathrm{X}^j$. Với mỗi ánh xạ $g \in 2^{\mathrm{X}}$ của X vào 2, liên kết phần tử $f \in \mathrm{E}$ sao cho $f(\lambda) = (g(x_1), \ \ldots, \ g(x_j))$ khi $\lambda = (x_k)_{1 \leqslant k \leqslant j} \in \mathrm{X}^j$; hãy chỉ ra rằng tập hợp F gồm các phần tử $f \in \mathrm{E}$ được xác định như vậy có tính chất đã yêu cầu.)