Exercice 28, § 6

Soient E un ensemble infini, $(\mathfrak{X}_i)_{1 \leq i \leq m}$ une partition finie de l’ensemble $\mathfrak{F}_n(E)$ des parties de E ayant $n$ éléments. Montrer qu’il existe un indice $i$ et une partie infinie F de E tels que toute partie de F ayant $n$ éléments appartienne à $\mathfrak{X}_i$. (Raisonner par récurrence sur $n$: pour tout $a \in E$, montrer d’abord qu’il existe un indice $j(a)$ et une partie infinie $M(a)$ de $E - \{a\}$ tels que pour toute partie A de $M(a)$ ayant $n - 1$ éléments, $\{a\} \cup A$ appartienne à $\mathfrak{X}_{j(a)}$. Former alors F en définissant une suite d’éléments $a_i$ de E par récurrence sur $i$, $a_1$ étant arbitraire dans E, $a_2$ pris dans $M(a_1)$, $a_3$ défini à partir de $M(a_1)$ et de $a_2$ comme $a_2$ à partir de E et de $a_1$, et ainsi de suite. Montrer enfin que l’ensemble F des éléments d’une suite partielle $(a_{i_k})$ extraite convenablement de $(a_i)$ répond à la question.)