Bài tập 28, § 6

Cho E là một tập vô hạn và cho $(\mathfrak{X}_i)_{1 \leqslant i \leqslant m}$ là một phân hoạch hữu hạn của tập $\mathfrak{F}_n(\mathrm{E})$ gồm các tập con của E có $n$ phần tử. Chứng minh rằng tồn tại một chỉ số $i$ và một tập con vô hạn F của E sao cho mọi tập con của F có $n$ phần tử đều thuộc về $\mathfrak{X}_i$. (Chứng minh bằng quy nạp theo $n$. Với mỗi $a \in \mathrm{E}$ chứng minh rằng tồn tại một chỉ số $j(a)$ và một tập con vô hạn $\mathrm{M}(a)$ của $\mathrm{E} - \{a\}$ sao cho, với mọi tập con A của $\mathrm{M}(a)$ có $n-1$ phần tử, $\{a\} \cup \mathrm{A}$ thuộc về $\mathfrak{X}_{j(a)}$. Sau đó định nghĩa một dãy $(a_i)$ các phần tử của E như sau : $a_1$ là một phần tử tùy ý của E, $a_2$ là một phần tử tùy ý của $\mathrm{M}(a_1)$, $a_3$ được định nghĩa theo $\mathrm{M}(a_1)$ và $a_2$ theo cùng một cách như $a_2$ đã được định nghĩa theo E và $a_1$, và cứ tiếp tục như vậy. Chứng minh rằng tập F gồm các phần tử của một dãy con thích hợp của dãy $(a_i)$ thỏa mãn các điều kiện yêu cầu.)