Exercice 31, § 6

Soient A un ensemble infini, E l’ensemble des parties infinies de A, ordonné par la relation opposée à la relation d’inclusion. Montrer que E est complètement ramifié (III, p. 76, exerc. 8) mais non afiltrant (III, p. 74, exerc. 23), et qu’il existe un sous-ensemble cofinal F de E qui est afiltrant. (Considérer d’abord l’ensemble $\mathfrak{D}(A)$ des parties infinies dénombrables de A, qui est cofinal dans E, et soit $Z = R_0(\mathfrak{D}(A))$ (III, p. 74, exerc. 23). Écrire Z sous la forme $(z_\lambda)_{\lambda \in L}$, où L est un ensemble bien ordonné et prendre pour F un ensemble de parties dénombrables $X_n^\lambda$, où $\lambda$ parcourt une partie convenable de L, $n \in \mathbf{N}$, $X_m^\lambda \supset X_n^\lambda$ pour $m \leq n$, $X_n^\lambda - X_{n+1}^\lambda$ est infinie pour tout $n \geq 0$ et $\bigcap_{n \in \mathbf{Z}} X_n^\lambda = \varnothing$; on procédera par récurrence transfinie pour définir les $X_n^\lambda$, de façon que les images des $X_n^\lambda$ par l’application canonique $r : \mathfrak{D}(A) \to Z$ (III, p. 74, exerc. 23) soient deux à deux distinctes et forment une partie cofinale de Z.)