Bài tập 31, § 6

Cho A là một tập vô hạn và cho E là tập hợp tất cả các tập con vô hạn của A, có thứ tự bởi bao hàm. Chứng minh rằng E là hoàn toàn phân nhánh (§ 2, Bài tập 8) nhưng không phản hướng (§ 1, Bài tập 23) và rằng E có một tập con đồngfinal phản hướng F. (Trước hết xét tập hợp $\mathfrak{D}(A)$ gồm các tập con vô hạn đếm được của A (là đồngfinal trong E) và đặt $Z = R_0(\mathfrak{D}(A))$ (§ 1, Bài tập 23). Viết Z dưới dạng $(z_\lambda)_{\lambda \in L}$, trong đó L là một tập được sắp thứ tự tốt, và lấy F là một tập hợp các tập con đếm được $X_n^\lambda$, trong đó $\lambda$ chạy qua một tập con thích hợp của L, $n \in \mathbf{N}$, $X_m^\lambda \supset X_n^\lambda$ bất cứ khi nào $m \leqslant n$, $X_n^\lambda - X_{n+1}^\lambda$ là vô hạn với mọi $n \geqslant 0$, và

các $X_n^\lambda$ được xác định bằng quy nạp siêu hạn sao cho các ảnh của các tập $X_n^\lambda$ qua ánh xạ chính tắc $r : \mathfrak{D}(A) \to Z$ (§ 1, Bài tập 23) là rời nhau từng đôi một và tạo thành một tập con đồngfinal của Z.)