Exercice 33, § 6

Soient $a, b$ deux cardinaux tels que $a \geq 2, b \geq 1$, l’un au moins des deux étant infini. Soient E un ensemble, $\mathfrak{F}$ une partie de $\mathfrak{P}(E)$, telle que $\mathrm{Card}(\mathfrak{F}) > a^b$ et $\mathrm{Card}(X) \leq b$ pour tout $X \in \mathfrak{F}$. On se propose de montrer qu’il existe une partie $\mathfrak{G} \subset \mathfrak{F}$ telle que $\mathrm{Card}(\mathfrak{G}) > a^b$ et que deux quelconques des ensembles appartenant à $\mathfrak{G}$ aient la même intersection. On pourra procéder de la façon suivante: a) Soit c le plus petit des cardinaux $> a^b$, et soit $\Omega$ le plus petit ordinal de cardinal c. On considère une application injective $v \mapsto X(v)$ de $\Omega$ dans $\mathfrak{F}$, et on pose $M = \bigcup_{v \in \Omega} X(v)$; on peut supposer que $\mathrm{Card}(M) = c$, et il y a donc une bijection $v \mapsto x_v$ de $\Omega$ sur M, ordonnant M. b) Pour tout $v \in \Omega$, soit $\rho_v$ l’ordinal type d’ordre du sous-ensemble $X(v)$ de M (on a $\mathrm{Card}(\rho_v) \geq b$) et soit $\mu \mapsto y_\mu^{(v)}$ l’unique application bijective croissante de $\rho_v$ sur $X(v)$. On note $M_\mu$ l’ensemble des $y_\mu^{(v)}$ lorsque $v$ parcourt $\Omega$. Montrer qu’il existe au moins un ordinal $\mu$ tel que $\mathrm{Card}(M_\mu) = c$. On désigne par $\alpha$ le plus petit de ces ordinaux; la réunion des $M_\gamma$ pour $\gamma < \alpha$ a un cardinal $\leq a^b < c$. c) Montrer qu’il existe une partie $N_0 \subset \Omega$ telle que $\mathrm{Card}(N_0) = c$ et que l’application $v \mapsto y_\alpha^{(v)}$ de $N_0$ dans M soit injective. Montrer, par récurrence sur $\beta$, qu’il existe une partie $N_\beta \subset N_0$ de cardinal c telle que l’élément $y_\alpha^{(v)} = z_\lambda$ soit indépendant de $v$ pour $v \in N_\beta$ et pour tout $\lambda \leq \beta$. Montrer que l’intersection N des $N_\beta$ pour $\beta < \alpha$ a pour cardinal c (considérer son complémentaire). Soit Q l’ensemble des $z_\lambda$ pour $\lambda < \alpha$.

d) Pour tout $v \in \mathbf{N}$, on définit par récurrence un ordinal $\lambda_v$ par la condition suivante : c'est le plus petit ordinal dans $\mathbf{N}$ tel que $y_{\alpha}^{(\lambda_v)}$ soit majorant strict, dans $M$, de la réunion des $X(\lambda_\mu)$ pour $\mu < v, \mu \in \mathbf{N}$. Montrer que pour $\mu < v$ dans $\mathbf{N}$, on a $X(\lambda_\mu) \cap X(\lambda_v) = \mathbf{Q}$.