Bài tập 33, § 6

Cho $a, b$ là hai lực lượng sao cho $a \geq 2, b \geq 1$, ít nhất một trong hai lực lượng là vô hạn. Cho E là một tập hợp, $\mathfrak{F}$ là một tập con của $\mathfrak{P}(E)$, sao cho $\mathrm{Card}(\mathfrak{F}) > a^b$ và $\mathrm{Card}(X) \leq b$ với mọi $X \in \mathfrak{F}$. Ta chứng minh rằng tồn tại một tập con $\mathfrak{G} \subset \mathfrak{F}$ sao cho $\mathrm{Card}(\mathfrak{G}) > a^b$ và hai tập hợp bất kỳ thuộc $\mathfrak{G}$ có cùng giao. Có thể tiến hành như sau: a) Gọi c là nhỏ nhất trong các lực lượng $> a^b$, và gọi $\Omega$ là thứ tự nhỏ nhất có lực lượng c. Ta xét một ánh xạ đơn ánh $v \mapsto X(v)$ từ $\Omega$ vào $\mathfrak{F}$, và đặt $M = \bigcup_{v \in \Omega} X(v)$; ta có thể giả sử rằng $\mathrm{Card}(M) = c$, và do đó có một song ánh $v \mapsto x_v$ của $\Omega$ lên M, sắp thứ tự M. b) Với mọi $v \in \Omega$, gọi $\rho_v$ là kiểu thứ tự của tập con $X(v)$ của M (ta có $\mathrm{Card}(\rho_v) \geq b$) và gọi $\mu \mapsto y_\mu^{(v)}$ là ánh xạ song ánh tăng duy nhất từ $\rho_v$ lên $X(v)$. Ta ký hiệu bởi $M_\mu$ tập hợp các $y_\mu^{(v)}$ khi v chạy qua $\Omega$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại ít nhất một thứ tự $\mu$ sao cho $\mathrm{Card}(M_\mu) = c$. Ký hiệu $\alpha$ là thứ tự nhỏ nhất trong các thứ tự này; hợp của các $M_\gamma$ với $\gamma < \alpha$ có một lực lượng $\leq a^b < c$. c) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một tập con $N_0 \subset \Omega$ sao cho $\mathrm{Card}(N_0) = c$ và ánh xạ $v \mapsto y_\alpha^{(v)}$ từ $N_0$ vào M là đơn ánh. Bây giờ chứng minh, bằng quy nạp theo $\beta$, rằng tồn tại một tập con $N_\beta \subset N_0$ có lực lượng c sao cho phần tử $y_\alpha^{(v)} = z_\lambda$ độc lập với v với $v \in N_\beta$ và với mọi $\lambda \leq \beta$. Bây giờ chứng minh rằng giao N của các $N_\beta$ với $\beta < \alpha$ có lực lượng c (xét phần bù của nó). Gọi Q là tập hợp các $z_\lambda$ với $\lambda < \alpha$. d) Với mọi $v \in \mathbf{N}$, ta định nghĩa bằng quy nạp một thứ tự $\lambda_v$ bởi điều kiện sau: nó là thứ tự nhỏ nhất trong $\mathbf{N}$ sao cho $y_{\alpha}^{(\lambda_v)}$ là một cận trên ngặt, trong M, của hợp các $X(\lambda_\mu)$ với $\mu < v, \mu \in \mathbf{N}$. Bây giờ chứng minh rằng với $\mu < v$ trong $\mathbf{N}$, ta có $X(\lambda_\mu) \cap X(\lambda_v) = \mathbf{Q}$.