Exercice 4, § 7

Soient $I$ un ensemble non vide ordonné filtrant à droite, n'ayant pas de plus grand élément, $F$ l'ensemble des suites $x = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2n-1}, \alpha_{2n})$ d'un nombre pair $\geqslant 2$ d'éléments de $I$, ayant les propriétés suivantes : $1^\circ \alpha_{2i-1} < \alpha_{2i}$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$; $2^\circ \alpha_{2i-1} \not< \alpha_{2j-1}$ pour $1 \leqslant j < i \leqslant n$. L'ensemble $F$ n'est pas vide. On pose $r(x) = \alpha_{2n-1}$, $s(x) = \alpha_{2n}$, et on dit que $n$ est la longueur de $x$. a) Pour tout $\alpha \in I$, soit $E_\alpha$ l'ensemble des $x \in F$ tels que $r(x) = \alpha$; $E_\alpha$ n'est pas vide. Pour $\alpha \leqslant \beta$, on définit de la façon suivante une application $f_{\alpha \beta}$ de $E_\beta$ dans l'ensemble des suites finies d'éléments de $I$ : pour $x = (\alpha_1, \ldots, \alpha_{2n-1}, \alpha_{2n}) \in E_\beta$, soit $j$ le plus petit indice tel que $\alpha \leqslant \alpha_{2j-1}$; on pose $f_{\alpha \beta}(x) = (\alpha_1, \ldots, \alpha_{2j-2}, \alpha, \alpha_{2j})$. Montrer que $f_{\alpha \beta}(E_\beta) = E_\alpha$ et que $(E_\alpha, f_{\alpha \beta})$ est un système projectif d'ensembles ayant $I$ pour ensemble d'indices. b) Montrer que si $x_\alpha \in E_\alpha$ et $x_\beta \in E_\beta$ sont tels qu'il existe un indice $\gamma \in I$ pour lequel $\gamma \geqslant \alpha, \gamma \geqslant \beta$, et un $x_\gamma \in E_\gamma$ tel que $x_\alpha = f_{\alpha \gamma}(x_\gamma)$ et $x_\beta = f_{\beta \gamma}(x_\gamma)$, alors, si de plus $x_\alpha$ et $x_\beta$ ont même longueur, on a $s(x_\alpha) = s(x_\beta)$. c) Déduire de b) que si $E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$ n'est pas vide et si $y = (x_\alpha) \in E$, l'ensemble des $s(x_\alpha)$ est dénombrable et cofinal à $I$. d) Soit $I$ l'ensemble des parties finies d'un ensemble non dénombrable $A$, ordonné par inclusion. Montrer qu'il n'existe aucune partie dénombrable de $I$ qui soit cofinale à $I$, et déduire de c) un exemple de système projectif $(E_\alpha, f_{\alpha \beta})$, où les $E_\alpha$ sont non vides et les $f_{\alpha \beta}$ surjectives, mais pour lequel $\lim_{\leftarrow} E_\alpha = \varnothing$. e) Déduire de d) un exemple de système projectif d'applications $u_\alpha : E_\alpha \to E'_\alpha$ tel que chacune des $u_\alpha$ soit surjective, mais que $\lim_{\leftarrow} u_\alpha$ ne soit pas surjective (prendre chacun des $E'_\alpha$ réduit à un seul élément).