Bài tập 4, § 7

Cho I là một tập có hướng không rỗng không có phần tử lớn nhất, và cho F là tập hợp tất cả các dãy $x = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2n-1}, \alpha_{2n})$ gồm một số chẵn $\geqslant 2$ các phần tử của I có các tính chất sau : (i) $\alpha_{2i-1} < \alpha_{2i}$ với $1 \leqslant i \leqslant n$; (ii) $\alpha_{2i-1} \not\leqslant \alpha_{2j-1}$ với $1 \leqslant j < i \leqslant n$. Tập hợp F không rỗng. Đặt $r(x) = \alpha_{2n-1}$, $s(x) = \alpha_{2n}$. Số nguyên $n$ được gọi là độ dài của $x$.

(a) Với mỗi $\alpha \in I$, cho $E_\alpha$ là tập hợp tất cả các $x \in F$ sao cho $r(x) = \alpha$. Khi đó $E_\alpha$ không rỗng. Với $\alpha \leqslant \beta$ trong I, ta định nghĩa một ánh xạ $f_{\alpha\beta}$ từ $E_\beta$ vào tập hợp tất cả các dãy hữu hạn các phần tử của I như sau : nếu

cho $j$ là chỉ số nhỏ nhất sao cho $\alpha \leqslant \alpha_{2j-1}$; khi đó

Chứng minh rằng $f_{\alpha\beta}(E_\beta) = E_\alpha$ và rằng $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ là một hệ ngược của các tập hợp đối với I.

(b) Chứng minh rằng nếu $x_\alpha \in E_\alpha$ và $x_\beta \in E_\beta$ là sao cho tồn tại một chỉ số $\gamma$ với $\gamma \geqslant \alpha$ và $\gamma \geqslant \beta$, và một phần tử $x_\gamma \in E_\gamma$ sao cho $x_\alpha = f_{\alpha\gamma}(x_\gamma)$ và $x_\beta = f_{\beta\gamma}(x_\gamma)$, thì, với điều kiện thêm rằng $x_\alpha$ và $x_\beta$ có cùng độ dài, ta có $s(x_\alpha) = s(x_\beta)$.

(c) Suy ra từ (b) rằng, nếu $E = \varprojlim E_\alpha$ không rỗng và nếu $y = (x_\alpha) \in E$, thì tập hợp các phần tử $s(x_\alpha)$ là đếm được và có tính đồng cuối trong I.

(d) Cho I là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của một tập hợp không đếm được A, được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm. Chứng minh rằng I không có tập con đồng cuối đếm được, và do đó suy ra từ (c) một ví dụ về một hệ ngược của các tập hợp $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ trong đó các $E_\alpha$ không rỗng và các $f_{\alpha\beta}$ là toàn ánh, nhưng đối với hệ đó $E = \varprojlim E_\alpha = \emptyset$.

(e) Suy ra từ (d) một ví dụ về một hệ ngược của các ánh xạ $u_\alpha : E_\alpha \to E'_\alpha$ sao cho mỗi $u_\alpha$ là toàn ánh nhưng $\varprojlim u_\alpha$ không toàn ánh (cho mỗi $E'_\alpha$ gồm một phần tử duy nhất).