Exercice 6, § 7

Soient $I$ un ensemble préordonné filtrant à droite, $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille de parties de $I$ satisfaisant aux conditions de l’exerc. 1 (III, p. 94). Soit $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ un système inductif d’ensembles ayant $I$ pour ensemble d’indices; soit $E$ sa limite inductive, et pour tout $\lambda \in L$, soit $F_\lambda$ la limite inductive du système inductif obtenu par restriction à $J_\lambda$ de l’ensemble d’indices. Pour $\lambda \leq \mu$, soit $g_{\mu \lambda}$ l’application canonique de $F_\lambda$ dans $F_\mu$ (III, p. 61). Montrer que $(F_\lambda, g_{\mu \lambda})$ est un système inductif d’ensembles relatif à $L$ et définir une bijection canonique de $E$ sur $F = \lim_{\longrightarrow} F_\lambda$.