Exercice 7, § 7

Soient $I$ un ensemble préordonné filtrant à droite, $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ un système inductif d’ensembles relatif à $I$; pour tout $\alpha \in I$, soit $f_\alpha : E_\alpha \longrightarrow E = \lim_{\longrightarrow} E_\alpha$ l’application canonique. Dans chaque $E_\alpha$, soit $R_\alpha$ la relation d’équivalence $f_\alpha(x) = f_\alpha(y)$; montrer que pour $\alpha \leq \beta$, l’application $f_{\beta \alpha}$ est compatible avec les relations d’équivalence $R_\alpha$ et $R_\beta$. Soient $E'_\alpha = E_\alpha / R_\alpha$, $f'_{\beta \alpha}$ l’application de $E'_\alpha$ dans $E'_\beta$ obtenue à partir de $f_{\beta \alpha}$ par passage aux quotients; montrer que $f'_{\beta \alpha}$ est injective, et que $(E'_\alpha, f'_{\beta \alpha})$ est un système inductif d’ensembles; définir une bijection canonique de $E$ sur $\lim_{\longrightarrow} E'_\alpha$.