Bài tập 7, § 7

Cho I là một tập có hướng và $(E_\alpha, f_{\beta\alpha})$ là một hệ trực tiếp của các tập hợp đối với I. Với mỗi $\alpha \in I$, cho $f_\alpha : E_\alpha \to E = \varinjlim E_\alpha$ là ánh xạ chính tắc. Trong mỗi $E_\alpha$, cho $R_\alpha$ là quan hệ tương đương $f_\alpha(x) = f_\alpha(y)$.

Chứng minh rằng, mỗi khi $\alpha \leqslant \beta$, ánh xạ $f_{\beta\alpha}$ tương thích với các quan hệ tương đương $\mathrm{R}_\alpha$ và $\mathrm{R}_\beta$. Cho $\mathrm{E}'_\alpha = \mathrm{E}_\alpha/\mathrm{R}_\alpha$, và cho $f'_{\beta\alpha}$ là ánh xạ từ $\mathrm{E}'_\alpha$ vào $\mathrm{E}'_\beta$ cảm sinh bởi $f_{\beta\alpha}$ khi chuyển qua các thương. Chứng minh rằng $f'_{\beta\alpha}$ là đơn ánh và rằng $(\mathrm{E}'_\alpha, f'_{\beta\alpha})$ là một hệ trực tiếp của các tập hợp, và định nghĩa một song ánh chính tắc từ E lên $\varinjlim \mathrm{E}'_\alpha$.