Exercice 9, § 7

Soit I un ensemble préordonné quelconque, $(E_\alpha)_{\alpha \in I}$ une famille d’ensembles ayant I pour ensemble d’indices; pour tout couple d’indices $(\alpha, \beta)$ de I tels que $\alpha \leq \beta$, soit $f_{\beta \alpha}$ une application de $E_\alpha$ dans $E_\beta$, et supposons que ces applications vérifient les conditions (LI_I) et (LI_{II}). Soit G l’ensemble somme de la famille $(E_\alpha)$, et (avec les notations de III, p. 61), soit $R \{ x, y \}$ la relation entre deux éléments $x, y$ de G : « on a $\lambda(x) = \alpha \leq \lambda(y) = \beta$ et $y = f_{\beta \alpha}(x)$ ». Soit R’ la relation d’équivalence dans G dont le graphe est le plus petit des graphes d’équivalence contenant le graphe de R (II, p. 52, exerc. 10). On dit encore que $E = G / R'$ est la limite inductive de la famille $(E_\alpha)$ pour la famille d’applications $(f_{\beta \alpha})$ et on écrit $E = \lim_{\longrightarrow} E_\alpha$; lorsque I est filtrant, montrer que cette définition coïncide avec celle de III, p. 61. Dans le cas général, on appelle application canonique de $E_\alpha$ dans E et on note $f_\alpha$ la restriction à $E_\alpha$ de l’application canonique de G dans E. Supposons donnée, pour tout $\alpha \in I$, une application $u_\alpha$ de $E_\alpha$ dans un ensemble F telle que $u_\beta \circ f_{\beta \alpha} = u_\alpha$ pour $\alpha \leq \beta$; montrer qu’il existe une application et une seule $u$ de E dans F telle que $u = u_\alpha \circ f_\alpha$ pour tout $\alpha \in I$.