Bài tập 9, § 7

Cho I là một tập hợp tiền thứ tự tùy ý, và cho $(\mathrm{E}_\alpha)_{\alpha \in \mathrm{I}}$ là một họ các tập hợp được đánh chỉ số bởi I. Với mỗi cặp chỉ số $(\alpha, \beta)$ sao cho $\alpha \leqslant \beta$, cho $f_{\beta\alpha}$ là một ánh xạ từ $\mathrm{E}_\alpha$ vào $\mathrm{E}_\beta$, và giả sử rằng các ánh xạ này thỏa mãn các điều kiện $(\mathrm{LI_I})$ và $(\mathrm{LI_{II}})$. Cho G là tập hợp là tổng của họ $(\mathrm{E}_\alpha)$ và (với ký hiệu của số 5) cho $\mathrm{R}\{x, y\}$ là quan hệ "$\lambda(x) = \alpha \leqslant \lambda(y) = \beta$ và $y = f_{\beta\alpha}(x)$" giữa hai phần tử $x$, $y$ của G. Cho $\mathrm{R}'$ là quan hệ tương đương trên G mà đồ thị là nhỏ nhất trong các đồ thị của những quan hệ tương đương chứa đồ thị của R (Chương II, § 6, Bài tập 10). Tập hợp $\mathrm{E} = \mathrm{G}/\mathrm{R}'$ được gọi là giới hạn trực tiếp của họ $(\mathrm{E}_\alpha)$ đối với họ các ánh xạ $(f_{\beta\alpha})$, và ta viết $\mathrm{E} = \varinjlim \mathrm{E}_\alpha$. Khi tập hợp chỉ số I là có hướng, hãy chứng minh rằng định nghĩa này phù hợp với định nghĩa đã cho trong số 5. Trong trường hợp tổng quát, hạn chế lên $\mathrm{E}_\alpha$ của ánh xạ chính tắc từ G vào E được gọi là ánh xạ chính tắc của $\mathrm{E}_\alpha$ vào E và được ký hiệu bởi $f_\alpha$. Giả sử rằng với mỗi $\alpha \in \mathrm{I}$, ta được cho một ánh xạ $u_\alpha$ từ $\mathrm{E}_\alpha$ vào F sao cho $u_\beta \circ f_{\beta\alpha} = u_\alpha$ mỗi khi $\alpha \leqslant \beta$; hãy chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ duy nhất $u$ từ E vào F sao cho $u = u_\alpha \circ f_\alpha$ với mỗi $\alpha \in \mathrm{I}$.