Exercice 11, § 2

Soit $\Sigma$ une espèce de structure (dans une théorie $\mathscr{T}$) ne comportant qu’un seul ensemble de base; soient $s \in F(x)$ la caractérisation typique, $R \{x, s\}$ l’axiome de $\Sigma$. On désigne par $A(x)$ l’ensemble des structures d’espèce $\Sigma$ sur $x$. Soit $\sigma \{x, y, s, t\}$ un terme vérifiant les conditions (MO_I), (MO_{II}) et la condition suivante: (MO_{III}') Étant donnés, dans une théorie $\mathscr{T}'$ plus forte que $\mathscr{T}$, deux ensembles E, E’ munis de structures $\mathscr{S}, \mathscr{S}'$ d’espèce $\Sigma$, pour tout isomorphisme $f$ de E sur E’, on a $f \in \sigma \{E, E', \mathscr{S}, \mathscr{S}'\}$. a) Soit $\mathrm{Id}_x$ l’application identique de $x$ sur lui-même. Montrer que la relation $Q \{x, s, t\}$:

est une relation d’équivalence entre s et t dans $A(x)$. Soient $B(x)$ l’ensemble quotient $A(x)/Q$, $\varphi_x$ l’application canonique de $A(x)$ sur $B(x)$. On suppose la relation $s' \in B(x)$ transportable et on désigne par $\Theta$ l’espèce de structure ayant pour caractérisation typique $s' \in \mathfrak{B}(F(x))$ et pour axiome $s' \in B(x)$. b) Soit $\overline{\sigma} \{x, y, s', t'\}$ l’ensemble des applications $f \in \mathscr{F}(x; y)$ vérifiant la relation suivante: Montrer que, pour l’espèce de structure $\Theta$, le terme $\overline{\sigma}$ vérifie les conditions (MO_I), (MO_{II}) et (MO_{III}) et que l’on a