Bài tập 11, § 2

Cho $\Sigma$ là một loài cấu trúc (trong một lý thuyết $\mathscr{T}$) chỉ có một cơ sở. Cho $s\in F(x)$ là đặc trưng hóa điển hình, và $R\{x,s\}$ là tiên đề của $\Sigma$. Ký hiệu $A(x)$ là tập hợp các cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $x$. Cho $\sigma\{x,y,s,t\}$ là một số hạng thỏa mãn các điều kiện $(\mathrm{MO}_I)$, $(\mathrm{MO}_{II})$, và điều kiện sau:

$(\mathrm{MO}'_{III})$ Cho hai tập hợp E, E' (trong một lý thuyết $\mathscr{T}'$ mạnh hơn $\mathscr{T}$) lần lượt được trang bị các cấu trúc $\mathscr{S}$, $\mathscr{S}'$ thuộc loài $\Sigma$, nếu $f$ là một đẳng cấu từ E lên E', thì $f\in\sigma\{E,E',\mathscr{S},\mathscr{S}'\}$.

(a) Cho $I_x$ là ánh xạ đồng nhất của $x$ lên chính nó. Chứng minh rằng quan hệ $Q\{x,s,t\}$ :

là một quan hệ tương đương giữa $s$ và $t$ trên $A(x)$. Gọi $B(x)$ là tập thương $A(x)/Q$, và gọi $\varphi_x$ là ánh xạ chính tắc từ $A(x)$ lên $B(x)$. Giả sử quan hệ $s'\in B(x)$ là khả chuyển (xem Phụ lục về các điều kiện bảo đảm điều này), và gọi $\Theta$ là loài cấu trúc có đặc trưng hóa điển hình $s'\in \mathfrak{P}(F(x))$ và tiên đề $s'\in B(x)$.

(b) Gọi $\bar{\sigma}\{x,y,s',t'\}$ là tập hợp các ánh xạ $f\in\mathscr{T}(x,y)$ thỏa mãn quan hệ sau: “$s'\in B(x)$ và $t'\in B(y)$ và tồn tại $s\in A(x)$ và $t\in A(y)$ sao cho $s'=\varphi_x(s)$ và $t'=\varphi_y(t)$ và $f\in\sigma\{x,y,s,t\}$.” Chứng minh rằng, đối với loài cấu trúc $\Theta$, số hạng $\bar{\sigma}$ thỏa mãn $(\mathrm{MO}_I)$, $(\mathrm{MO}_{II})$, và $(\mathrm{MO}_{III})$ và ta có