Exercice 2, § 2

Soit S un type d'échelon signé sur $n + m$ lettres (exerc. 1). Soit $\Sigma$ une espèce de structure ayant $x_1, \ldots, x_n$ pour ensembles de base principaux, $A_1, \ldots, A_m$ pour ensembles de base auxiliaires, et dont la caractérisation typique est de la forme $s \in \mathfrak{P}(S(x_1, \ldots, x_n, A_1, \ldots, A_m))$. Montrer qu'on peut définir une notion de $\sigma$-morphisme pour cette espèce de structure, de la façon suivante : étant donnés n ensembles $E_1, \ldots, E_n$ munis d'une structure U d'espèce $\Sigma$, n ensembles $E'_1, \ldots, E'_n$ munis d'une structure U' d'espèce $\Sigma$, et une application $f_i$ de $E_i$ dans $E'_i$ pour $1 \leq i \leq n$, on dit que $(f_1, \ldots, f_n)$ est un $\sigma$-morphisme si les applications $f_i$ vérifient les conditions suivantes : 1° si S est un type d'échelon covariant

2° si S est un type d'échelon contravariant Montrer qu'en choisissant convenablement les variances, on peut retrouver de cette manière la définition des morphismes pour les structures d'ordre, les structures algébriques et les structures topologiques.