Bài tập 2, § 2

Cho S là một kiểu bậc thang có dấu trên $n + m$ chữ cái (Bài tập 1). Cho $\Sigma$ là một loài cấu trúc có $x_1$, ..., $x_n$ làm các tập hợp cơ sở chính và $\mathrm{A}_1$, ..., $\mathrm{A}_m$ làm các tập hợp cơ sở phụ, mà đặc trưng hóa điển hình có dạng $s \in \mathfrak{P}(\mathrm{S}(x_1, \ldots, x_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m))$. Chứng minh rằng ta có thể định nghĩa một khái niệm $\sigma$-cấu xạ cho loài cấu trúc này như sau: cho $n$ tập hợp $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$ được trang bị một cấu trúc U thuộc loài $\Sigma$, $n$ tập hợp $\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n$ được trang bị một cấu trúc $\mathrm{U}'$ thuộc loài $\Sigma$, và các ánh xạ $f_i : \mathrm{E}_i \to \mathrm{E}'_i$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$, thì $(f_1, \ldots, f_n)$ được gọi là một $\sigma$-cấu xạ nếu các ánh xạ $f_i$ thỏa mãn các điều kiện sau :

(i) Nếu S là một kiểu bậc hiệp biến, thì

(ii) Nếu S là một kiểu bậc phản biến, thì

Hãy chỉ ra rằng, bằng cách gán các tính biến thiên một cách thích hợp, theo cách này ta có thể thu được định nghĩa của các cấu xạ đối với các cấu trúc thứ tự, các cấu trúc đại số, và các cấu trúc tôpô.