Exercice 7, § 2

*Soit $\Sigma$ l’espèce de structure ayant un ensemble de base principal $A$, avec $\mathbf{R}$ pour ensemble auxiliaire, dont la structure générique comporte deux lettres $V, \varphi$, avec la caractérisation typique

et dont les axiomes sont les suivants: 1° l’axiome $R\{V\}$ de l’espèce de structure topologique (IV, p. 5, Exemple 3); 2° la relation: « il existe $a > 0$ tel que $\varphi$ soit le graphe fonctionnel d’une application injective continue (pour la topologie $V$) de l’intervalle $\{0, a\}$ dans $A$ ».

Si $A, A'$ sont deux ensembles munis respectivement de structures $(V, \varphi), (V', \varphi')$ d’espèce $\Sigma$, on définit les $\sigma$-morphismes de $A$ dans $A'$ comme les applications $f$ continues (pour $V, V'$) dont le graphe $F$ est tel que $F \circ \varphi \subset \varphi'$. Montrer que cette notion de $\sigma$-morphisme peut être définie par le procédé de l’exerc. 2 (IV, p. 29) et qu’il existe une structure produit sur le produit de deux ensembles $A_1, A_2$ munis de structures quelconques d’espèce $\Sigma$. Mais donner un exemple où l’image directe par la première projection $pr_1$ de la structure produit sur $A_1 \times A_2$ n’est pas la structure donnée initialement sur $A_1$ (prendre pour $A_1$ un espace homéomorphe à $\mathbf{R}$).*