Bài tập 7, § 2

Cho $\Sigma$ là loài cấu trúc có một tập hợp cơ sở chính A, và tập hợp $\mathbf{R}$ làm tập hợp cơ sở phụ, mà cấu trúc tổng quát gồm hai ký hiệu $(\mathrm{V}, \varphi)$ với đặc trưng hóa điển hình

và các tiên đề của nó là (i) tiên đề $\mathrm{R}\{\mathrm{V}\}$ của loài cấu trúc tôpô (§ 1, no. 4, Ví dụ 3), (ii) quan hệ "tồn tại $a > 0$ sao cho $\varphi$ là đồ thị của một ánh xạ đơn ánh liên tục (đối với tôpô V) của khoảng $[0, a]$ vào A".

Nếu A, A$'$ là hai tập hợp được trang bị tương ứng các cấu trúc $(\mathrm{V}, \varphi)$, $(\mathrm{V}', \varphi')$ thuộc loài $\Sigma$, các $\sigma$-đồng cấu từ A vào A$'$ được định nghĩa là các ánh xạ $f$ của A vào A$'$ liên tục (đối với các tôpô V, V$'$) và có đồ thị F sao cho $\mathrm{F} \circ \varphi \subset \varphi'$. Hãy chỉ ra rằng khái niệm $\sigma$-đồng cấu này có thể được định nghĩa bằng thủ tục của Bài tập 2, và rằng tồn tại một cấu trúc tích trên tích của hai tập hợp A$_1$, A$_2$ được trang bị các cấu trúc tùy ý của loài $\Sigma$. Nhưng hãy cho một ví dụ trong đó ảnh trực tiếp, qua phép chiếu thứ nhất $\mathrm{pr}_1$, của cấu trúc tích trên $\mathrm{A}_1 \times \mathrm{A}_2$ không phải là cấu trúc ban đầu đã cho trên A$_1$ (lấy A$_1$ là một không gian đồng phôi với $\mathbf{R}$). \*